Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

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GEOMETRIE.

Ainsi dans tout polyedre on a toujours A> H, etS > a-+-H,
oil il faut observer que le signe > n'exclut pas l'egalite, attendu
qu'on pourrait avoir o)==o.
Le nombre de tous les angles plans du polyedre est 2 A, celui
des angles solides est S, de sorte que le nombre moyen des anA
gles plans qui forment chaque angle solide est --
S
Ce nombre ne peut etre moindre que 3, puisqu'il faut au moins
trois angles plans pour former un angle solide; ainsi on doit
avoir 2 A > 3S, le signe > n'excluant pas l'galite. Si on met au
lieu de A et S leurs valeurs en H et o, on aura 3 H +- o> 6 +H -1+ o, ou 3 H> 12 -o). Remettant les valeurs de H et o en
a, b, c, etc., il en r6sultera
3a- 2b - c > I -2+e 2f+- 3g+ etc.
d'ou l'on voit que a, b, c, ne peuvent pas etre zero a la fois, et
qu'ainsi il n'existe aucun polyedre dont toutes les faces aient plus
de cinq cotes.
Puisqu'on a H>4-+-1 to, la substitution dans les valeurs de S
et de A donnera S> 4+- - t et A> 6 + o. Mais en meme temps
on a o) <3 H — 2; et de l il r6sulte S < a2 -4, et A < 3H-6,
ou f'on se souviendra que les signes > et < n'excluent pas l'egalite. Ces limites out lieu generalement dans tous les polyedres.
20 Supposons 2 A> 4 S, ce qui convient i une infinite de polyedres, et nommement h ceux dont tous les angles solides sont
formes de quatre plans ou plus, on aura dans ce cas H >8+-to,
on, en faisantla substitution,
a > 8 +-c+- d-+- 3e-+- etc.
Done il faut que le solide ait au moins huit faces triangulaires; la
limite H > 8 -- o donne S > 6 +- to, et A > 2 -- 12 o. Mais on
a en meme temps o <H - 8; et de 1i resulte S <H —,
A<2H1- 4.
3~ Supposons 2 A> 5 S, ce qui renferme entre autres polyedres ceux dont tous les angles solides sont au moins quintuples,
il en r6sultera H > 2o + 3 o, ou
a>o20 — 2b-j 5tc + 8d +etc.
Et on aura en meme temps S> I 2 - 2 to, et A>3o — 5 o; enfin