Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE VII.

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tant de fois qu'il y a d'angles solides; elle est done egale a 4S.
Ensuite le double du nombre des cotes AB, BC, CD, etc., est egal
au quadruple du nombre des aretes ou - 4A, puisque la meme
arete sert de cote a deux faces: donc on aura 8 =- 4S-4A+ 4H;
ou, cn prenant le quart de chaque membre, 2 - S-A-4-H; donc
S+H- A-j-2.
Corollaire. 11 suit de la que la somme des angles plans qui
forment les angles solides d'un polyedre est egale a autant de fois
quatre angles droits qu'ily a d'unitds dans S - 2, S etant le nombre'des angles solides dte polyedre.
Car, si on considere une face dont le nombre de cotes est n, la
somme des angles de cette face sera 2n - 4 angles droits. Mais
la somme de tous les 2n, ou le double du nombre des c6tes de
toutes les faces, = 4A, et 4 pris autant de fois qu'il y a de faces
4H; donc la somme des angles de toutes les faces = 4A-4H.
Or, par le theoreme qu'on vient de ddmontrer, on a A —H=S-2,
et par consequenlt 4A-4H = 4 (S-2). Donc la somme des angles
plans, etc.
Ce theoreme, qu'Euler a d6montre le premier dans les Memoires de Petersbourg, ann6e 3 758, offre plusieurs consequences
qui meritent d'etre developpees.
~1 Soit a le nombre des triangles, b le Iombre des quadrilateres, c le nombre des pentagones, etc., qui composent la surface
d'un polyedre; le nombre total des faces sera a —b-+-c-+d —etc.,
et le nombre total de leurs cotes sera 3a+ —4IbSc-t-Gd+ etc. Ce
dernier nombre est double de celui des aretes, puisque la meme
arete appartient a deux faces; ainsi on aura
I== ---- - b -t- c +d-t-etc.
2A== 3a -- 4b + 5c + 6d — etc.
et puisque, suivant le theorreme dont il s'agit, S -- H = A -+- a
on en tire
2S=4 - +a -+a-t+ 2b-+-3c- -4- d-+etc.
Une premiere remarque que fournissent ces valeurs, c'est que le
nombre des faces impaires a — c-+ e — etc. est toujours pair.
On peut faire pour abreger o==- b --- c-+ 3d+ etc., et alors on
aura
A= +H — 0o,
S= 2-+-H+'2.