Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

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GEOMETRIE.

donc puisque le point C appartient a la ligne la plus courte
de A en B, ii faudrait que la distance de C en B fut moindre
que de D en B, consequence alsurde, d'apres le lemme II,
puisque l'arc BC est plus grand que BD. Donc aucun
point de la plus courte distance entre A et B ne peut etre
hors de l'arc AB, done l'arc AB est lui-mnime la ligne la
plus courte qui a les memes extremites.
Remarque. Dans la demonstration precedente, on suppose chacun des deux arcs AC, BC, inoindre que AB; et il
est evident qu'on ne pent taire une autre hypothese, car si
on avait AC > AB, la ligne la plus courte de A en B serait
moindre que de A en C; le point C ne pourrait done pas
appartenir 'a la premiere ligne.
PROPOSITION XIII.
THEOREME.
fig. 226. L'tan/leBAC que fontl entre eu.x dezux arcs de grllzds
cercles AB, AC, a pour zesture [l'zale FAG, Jormnepar
les tangentes de ces arcs rc a point A: i a aussi Ipour
Inestre l'arc )DE, ddcrit dut poizt A comm2e pdo,
entre les cote's AB, AC, prolonzgcs s'il est znecessatire.
Car la tangente AF, menee dans le plan de l'are AB, est
perpendictllaire au rayon AO; la tangente AG, menee dlans
le plan de l'arc AC, est perpendiculaire au mcme rayon
AO. Done langle FAG est egal a l'angle des plans OAB,
OAC, qui est celui des arcs AB, AC, et qui se designe par
BAC.
Pareillement, si l'arc AD est egal h un quadrant, ainsi
que AE, les lignes OD, OE, seront perpendiculaires a AO,
et l'angle DOE sera encore egal a l'angle des plans AOD,
AOE; done l'arc DE est la mesure de l'angle de ces plans,
ou la mesure de 'angle CAB.
Corollaire. Les angles des triangles spheriques peuvent