Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE VI1.

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Soit ABC un triangle spherique quelconque; prolongez fig.224.
les cotes AB, AC, jusqu'a ce qu'ils se rencontrent de nouveau en D. Les arcs ABD, ACD, seront des demi-circonferences, puisque deux grands cercles se coupent toujours
en deux parties egales*; mais dans le triangle BCD on a * I.
le cote BC < BD+CD '; ajoutant de part et dautre AB+AC, * 4.
on aura AB+AC-BC < ABD+ACD, c'est-a-dire, plus
petit qu'une circonference.
Remrarque. Pour qu'on puisse construire un triangle sphe.
rique avec trois cotes donnds, il faut et il suffit que la somme
des trois cotes soit plus petite qu'une circonference, et
que le plus grand cote soit moindre que la somme des
deux autres. Car ce sont les conditions necessaires et suffisantes pour qu'on puisse construire un angle solide avec
trois faces qui auraient pour mesures les trois cotes donnes.
Et si lon placait le sommet de cet angle solide au centre de
la sphere, les faces intercepteraient le triangle demande.
PROPOSITION VI.
THEOREME.
La somme des cotes d'un polygone spherique convexe est moindre qu'une circonference de grana
cercle.
Soit ABCDE un polygone spherique convexe; et me- fig. 225
nons du centre 0 de la sphere les rayons OA, OB, OC, OD,
OE, nous formerons ainsi un angle solide qui sera convexe et dont les angles plans AOB, AOC.... ont pour
mesures les arcs AB, BC, CD....; or, la somme des angles plans qui forment l'angle solide est moindre que 4
droits; done la somme des arcs AB, BC,.... est moindre
qu'une circonference.