Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE IV.

I33

Cela pose, si les angles ANB, AN'B n'etaient pas droits, on
pourrait agrandir simultanlment l'aire des triangles ANB, AN'B'
sans rien changer a la grandeur des cotes AN, NB, AN', N'B, ni
a la grandeur des segments APN, NQB, AP'N', N'Q'B; la base
commune AB changerait seule; mais par h l'Faire de la figure
deviendrait plus grande, sans que le perimetre changeat, ce qui
est contraire a l'hypothese; done les angles N, N' sont droits;
d'ailleurs le point N est quelconque sur la courbe ANB; donc
cette ligne est une demi-circonf6rence.
Ainsi l'on voit que si une droite divise la figure maximum en
deux moities, chacune de ces moiti6s sera un demi-cercle; done
la figure entiere est un cercle.
PROPOSITION III.
THEOREME.
Parmi toutes les figures planes qui ont la meme aire, le cercle
a le plus petit perinztre.
Car si une figure quelconque dont l'aire est A, avait un perimetre moindre que le cercle ayant la meme aire, on pourrait,
d'apres le theoreme precedent, la transformer en un cercle de
meme perimetre, et d'une aire B> A.
Ce second cercle aurait done une aire plus grande que le premier, et un perimetre moindre, ce qui est absurde.
PROPOSITION IV.
LEMME.
Tout polygone ABCDE qui contient un angle rentrant, peut
etre transforme' en unpolygone convexe, d'une surface plus grande
ayant le memne perimetre et un cote de moins.

B