Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE IV.

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Les perimetres de ces polygones s'approchent done de
plus en plus de la circonference, quand on double indefiniment le nombre de leurs cotes; et, pour prouver qu'ils
s'en approchent d'aussi pres qu'on veut, il suffit de demontrer que leur difference peut devenir plus petite que toute
grandeur donnee.
Soient P et p les perimetres des polygones ABC, ab,
B+~~~~~~n~~~ aJf~~~~~~~~*pr.8.
on ap8
P:p:: OM:OI, d'ou P —p P:: OM- -OI ou IM: OM.
On tire de la
Px IM
OPIM
Or IM est plus petit que Mb; Mb est plus petit que l'arc
qu'il sous-tend; et les arcs sous-tendus peuvent decroitre
indefiniment, car ils suivent les termes de la progression
decroissante i I i I...; d'ailleurs P va en diminuant,
et OM est constant; done P -p tend indefiniment vers
zero; done, etc......
2~ Soient S et s les surfaces des memes polygones, on
ferait voir, comme precedemment, que S et s vont en
s'approchant de l'aire du cercle quand on multiplie le nombre des cotes des polygones, et lon aura prouve que les
aires de ces polygones ont pour limite le cercle, si lon fait
voir que S —s peut etre rendue plus petite que toute
quantite donnee.
Or on a *pr. 8
S:s:: OM:OI, d'ou S-s:S::OM-OI ou Ib:OM.
On tire de la
SXIb
S- s_ _-",
OM
et il est evident que cette difference tend indefiniment vers
zero; car, en multipliant le nombre des cotes, S diminue;