Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE IV.

I 13

PROPOSITION VII.
THEOREME.
L'aire d'un polygo7e riegulier est (gale ia son perimetre multiplie par la moitie cda rayon dcl cercle
inscrit.
Soit, par exemple, le polygone regulier GHIK, etc., le fig. 60.
triangle GOH a pour mesure GH X OT, le triangle OHI
a pour mesure II X ON: mais ON= OT; done les deux
triangles reunis ont pour mesure ( GH - HI) X - OT. En
continuant ainsi pour les autres triangles, on verra que
la somme de tous les triangles, ou le polygone entier, a
pour mesure la somme des bases GH, LI, IK, etc., ou le
perimetre du polygone, multiplie pare OT, moitie du rayon
du cercle inscrit.
Scolie. Le rayon du cercle inscrit OT n'est autre chose
que la perpendiculaire abaissee du centre sur un des cotes; on l'appelle quelquefois l'apothe'me du polygone.
PROPOSITION VIII.
THEOREME.
Les perimetres des polygones r eguliers d'un mene
nombre de cotes sont comme les rcqons des cercles
circonscrits, et aussi comme les rayons des cercles
inscrits; leurs surfaices solzt conzne les carres de ces
mmems rayons.
Soit AB un cote de l'un des polygones dont il s'agit, fig. I6r.
O son centre, et par consequent OA le rayon du cercle
circonscrit, et OD, perpendiculaire sur AB, le rayon du
cercle inscrit; soit pareillement ab le cote d'un autre polygone semblable, o son centre, oa et od les rayons des
cercles circonscrit et inscrit. Les perimetres des deux poly8