Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

94 GEOMETRIE.
*33* ABC, ADC par la diagonale AC; or, en designant par R
le rayon du cercle circonscrit, on a:
AB xBC x AC 4R x ABC,
et
ADxDCxAC 4RxADC.
Ajoutant, il vient:
AC x (AB x BC —AD x DC) = 4R X ABCD.
Mais si l'on decomposait le quadrilatere en triangles par
la diagonale BD, on trouverait de merare:
BD x (AB x AD-BC x DC)= 4R X ABCD,
d'oui
AC x (AB x BC+AD x DC)= BD x (AB X AD+BC x DC),
ce qui donne la proportion
AC:BD:: AB x AD-BC x DC:AB x BC+AD x DC.
Problemes relatifs au livre III.
PROBLEME PREMIER.
Diviser une ligne droite donnee en tant de parties
egales qu'on voudra, ou en parties proportionnelles a.
des lignes donnees.
fg. 137. I~ Soit propose de diviser la ligne AB en cinq parties
egales; par 1'extremite A on menera la droite indefinie AG,
et prenant AC d'une grandeur quelconque, on portera AC
cinq fois sur AG. On joindra le dernier point de division G
et l'extremite B par la ligne GB, puis on menera CI parallele a GB; je dis que AI sera la cinquieme partie de la
ligne AB, et qu'ainsi en portant AI cinq fois sur AB, la
ligne AB sera divisee en cinq parties egales.
Car, puisque CI est parallele a GB, les cotes AG, AB,
* I6. sont coupes proportionnellement en C et I '. Mais AC est
la cinquiieme partie de AG; donc AI est la cinquieme partie de AB.