Éléments de géométrie, par A. M. Legendre, avec additions et modifications, par M. A. Blanchet.

LIVRE III. 93
PROPOSITION XXXIV.
THE O REME.
Dans tout quadrilatere inscrit ABCD, le rectangle fig. I35.
des dcleux diagonales AC, BD, est e'gal a la somnme
des rectangles des cote's opposes, de sorte qu'on a
AC x BD=AB x CD+AD x BC.
Prenez l'are CO AD, et tirez BO qui rencontre la diagonaleAC en I.
L'angle ABD - CBI, puisque l'un a pour mesure la moitie de AD, et l'autre la moitie de CO egal. AD. L'angle
ADB=BCI, parce qu'ils sont inscrits dans le mnme segment AOB; donc le triangle ABD est semblable au triangle IBC, et on a la proportion AD: CI:: BD: BC; d'ou resulte
AD X BC=CI X BD. Je dis maintenant que le triangle ABI
est semblable au triangle BDC; car l'arc AD etant egal a
CO, si on ajoute de part et d'autre OD, on aura Fare AO0
DC; done l'angle ABI DBC; de plus, l'angle BAI =BDC,
parce qu'ils sont inscrits dans le meme segment; done les
triangles ABI, DBC, sont semblables, et les cotes homologues donnent la proportion AB:BD:: AI:CD, d'o resulte
AB X CD= AI X BD.
Ajoutant les deux resultats trouves, et observant que
AI X BD- CI x BD- (AI CI) x BD= AC X BD, on aura
ADX BC AB x CD=AC xBD.
PROPOSITION XXXV.
THEOREME.
Les diagonales d'un quadrilatere inscrit sont entre
elles comme les sommes des rectangles des c6tes qui
aboutissentt at leurs extre'nites.
Le quadrilatere ABCD est decompose en deux triangles fig. I35.