Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TI'IEOlUE DES EQUATIONS )IFlFERENTIWLLES LNLAlRES. bl
s'obtiennent par la menze vole, et chacune d'elles est correlative d'un
systmre fondamental determine.
71. De meme qu'en Algebre la decomposition d'un polyn6me en
facteurs premiers permet, connaissant les racines d'une equation,
d'6crire immediatement cette equation, de meme ici la decomposition
en facteurs premiers symboliques permet d'ecrire de suite l'quation
diff6rentielle qui admet un systeme fondamental d'integrales donne. Si
y, -,, Y, =, vJ'V lx...,, f/J'! x,,tl,.
est le systeme en question, l'equation diff6rentielle sera
A A.,-I.. A 3 I A.A,A = o,
avec les conditions
dlog(, (,. i. () i
Cli = - 9 - (:17i n -..
a^ --— ^ ----, z,3
Les coefficients de cette equation se trouveront exprimes en fonction
(e c,, Y2..9,
Je mentionnerai un autre procede, conduisant a la solution de cc
meme probleme: former, en fonclion de v,, v,.,,,,, l'equation differentiellc qui admet le systeme fondamental y,,,..., *,,,.
Je vais, en effet, construire successivenent les equations diff6rentielles lineaires, homogenes, d'ordres i, 2, 3,..., admettant comme
solutions, la premiere l,,, la deuxieme v,n_ et -,,,_, fi dx, la troisieme
V,,-2_, V,,-2fVn-_ dx et Vn,, 2Sr, —, dxfvCn dx, etc. Reportons-nous pour
cela aux formules (i) du n0 18, qui donneront les p, connaissant les q.
L'equation du premier ordre, qui admet l'integrale v,, est
dr
V IP -
dx+ry-zo,
avec la condition
I d(1,,
(Vnm d(IX
Pour obtenir l'equation du second ordre
d' 'Y dr,