Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUE'T.

Je construis les equations differentielles
A, io, A o -,... A/- o,..., A, -=,
telles que
Ai= l- dx i3 - o,
et admettant respectivement comme solutions
(, (',, ) 22..,., V 1 C V '.2
La valeur de ai, par exemple, sera
log(v,V...V i)
clx
L'expression differentielle A,,A,,,...A3 AA,, composee demfacteurs
premiers symboliques, est identique a P, c'est-a-dire que les coefficients des derivees de meme ordre, dans les deux expressions, seront
egaux. C'est ce que j'ai etalli au n~ 59.
20 Toute decomposition de P en facteurs premiers symboliques s'obtient par la methode precedente. Autrement dit, si l'on a
P - A,, A,,....A3 A2 A,,
et si l'integrale de A, = o est,, si celle de A2= o est mise sous la
forme v, v2, ce qui est toujours possible, celle de A = o sous la forme
V, 2, v3, etc., les m fonctions
yi- - VI), f2 v2d (., Y,,, f = vfdx J... Vmfdx
constituent un systeme fondamental d'integrales de P o.
En effet, l'expression P est annulee par les integrales generales des
equations
A,1- o, A, V V2 A2 A, vV,3,...
or, l'integration directe de ces equations montre qu'elles admettent
pour solutions ]es quantites designees par y,, y,9..., y,,; donc ces
fonctions yj sont bien des integrales de P =o. Elles sont d'ailleurs
lineairemnent independantes.
Ainsi, I'expression P est toujours decomposable en facteurs premiers
symboliques, et de plusieurs manieres; mais toutes ces decompositions