Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEORIE DES EQUATIONS DIFFERPENTIELLES LINtAIRES. 7

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a pour adjointe
En g'n'ral, 19(y) o, ayant toutes es int6grales rgl~epn
(n0 48) &tre composee uniquement. d'equations dui premier ordre ayant
chacune une inte'grale re'gulie'ie. D'es lors (no 63), 1'6quation adjointe
~(M) - o se composera. des equations adjointes rages dans 1'ordre
inverse. Done (nlo 49), le'quation T,(M) =o, etant cornpose'e uniquement de'quations dui premier- ordre ayant chacune tine inte'grale re'gu1ie~re. a elle-me'me toutes ses integrales re'gulie'res.
67. Nous sommes maintenant en mesure de transformer la condition
d~iino 58 par la consideration de 1'e'quation diff6rentielle adjointe.
On a vu. que, pour que 1'e'quation diff6rentielle P.= o, d'ordre m,
ayant une fonction determinante de degre6 y, adinette 7 integrales re'gufie'res line'airement inde'pendantes, il faut et it suffit que 1'expression P
soit de la forme P: QD, Q e'tant d'ordre m - 7' et ayant pour fonction
deterrninante une constante.
Or, soient tet Gc) les expressions adjointes de 'Q et de D. D'apr'es le
11O 65, les fonctions de'terminantes de Q et de tsont du mu'me degre', et
d'aprebs le no 63, P se mettant sous la forme P =QD, Ci se mettra sous
la forme CiT - ot et re'ciproquemnent. Donc, la condition ne'cessaire et
suftisante pour que P =o ait -j integrales re'guli'eres line'airement inde6 -pendantes est que l'expression adjointe TJ soit (de la forme T =ow~
e'tant d'ordre m et ayant pour fonction determinante une constante. Ceci revenant "a dire que (no 39) Ti?- o doit admettre toutes les
integrates de 1?jz o, nous obtenons cette condition finale
Pour que 1'e'quation dife~rentielle P =o, d'ordre m, ayant unefonction de'erminante du degre' y, atit exact ement,/ iniegorales re'gulie'res
finedaireinent indeivendantesi faut et it suf/it que l'e'quatdon adjointe
c~= o admette toules les inte'grales d'une dquation d~fferentielle d'3ordre
in -,,I, ayant pour fonction de'terminante line constanle.
68. Je vais enfin appliquer ceci 'a la recherche des conditions que
doit remplir l'e6qtation P =o, d'ordre m, pour avoir m - i integrales
reguuib'res Ilin'airement inde'pendantes.