Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

76 ~~~~~~G. FLOQUET.
x (" ~(xP) est.p) On a donc, quel. que soit l'entier v,
Soit g le plus haut exposant de xa< dans x —P (x~'); f, (,) s'6'vanouit
alors pour les valeurs de v inf~rieures 'a g, mais non pour la valeur
v — g. Done, 'a cause de l'identite' precedente, il en est de ine'me de
rD,(p). Faisons v - dans cette relation; nous aurons
Or,~-g~)etf~g(p) sont les fonctions dMermintsdec )ete
P~1);x est d'ailletirs la puissance de x par laquelle on doit multiplie P(y) pour la re'duire 'a la forme norinale. D'oii cette proposition
Lesfonctions de'terminantes de 1? (y) et de l'expression adjointe TV (Ml)
se d~didsen l'une de l'autre en eliangeant p en - po +i g - i, xg dtant la
puissance par laquelle il faut multiplier P (y) pour l'amener a't la forme
normale.
On en de'duit que les fonctions de'termitiantes de P(y) et de l'adjointe
TC(M) sont du maine degre'.
Rarnenons P(y) 'a la forme normale en imulipliant par xg; d'apre's
le no 63, l'adjointe de, x P (y) sera 9v(x SM); mais (no 33) Ia fonction
de'termninante de T(xg M) est ~o —,p -P g); or, 'a cause de
Npgp f b(
on a
done, lorsque l'expression propose'e a la fornme norinale, pour obtenir
la fonction de'ternminante de l'expression adjointe, il. suffit de remplacer p par -- p - idans celle de la propose'e.
66. Si le'quation P (y) -o a toutes ses integrales re'gulie'res, ii en est de
mdme de 1'e'quation d~f/Jrentielle adjointe N2 M) =_o.
Observons d'abord que, pour le premier ordre, ce the'ore'me est c'vident, puisque (no 22) 1'e'quation
dy+ (x) 1 -cx x