Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIJEORIE DES E~QUATIONS DHIFFE"ENTIELLES LYAR~.7

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sances entiebres, positives et negatives de x, nmais ne contenant qu'un
nombre limit' dle puissanc-es negatives.
Ii en ser~a e'videmnment de me'ine des coefficients de 1'e'quation diff6 -rentielle adjointe
-- M dI- ~- -- I __IA_
dxI" I dx'-1
Nous allons voir que les fonctions de~terininantes de IP(y) 7-o et de
1(A)-o sont e'troi ement lie'es.
On a 1'identite' (n 62)
oiL(y, Ml)'est une expression dilfhrentielle lin'aire hornogbne en y
et en M, dont les coefficients sont des fonctions line'ait-es homogbnes
des coefficients p et de leurs de'rive'es, et ne renferment par consequent
eux-mernes qu'Un nombre fini de puissances de x-'.
Posons dans cette identitf'
e'~tant un nombre entier quelconque, pos'itif ou nDo'gafif. Nous obtenons
Or, la quantite6 place'e sous le signe d dnc esin mmr s ev
7dn e eodmeurxetdv
loppable en une se'rie proce'dant suivant les puissances entiebres de x,
ne contenant qu'un nombre fini de puissances negatives et ne comprenant en tout cas aucun logarithmne. Donc le premier membre, qui
proeb de aussi suivant les puissances entiebres de x, ne renferme pas la
puissance x-'. Foirmons donc le coefficient de x-' et e~galons-1e 'a zero.
Soient.
-P, /X,( +
les fonctions caracteristiques de P (y) et de T (M). Le coefficient de x-'
dans xPP(x-Pv1-) est alorsf (-pj -- v - i), et le coefficient de x' dans
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