Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIlEORII, DES EQUATIONS DIFFLTEIiETIELLES LINEAIlES.

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On en deduit
__ 7(/Jh"-iM) M (^M Ai
f P (y)MA - [ M -dx -M Al ( (A + I)m Al x.
Si done on determine la fonction M par la condition qu'elle satisfasse
a l'equation
~o=p,,, — d/,1M) d_ pM,) _,,(M)
G Iv. dx dj X dx" I
on aura
d
M' P (?) = a-3 [,."MA (')l],
et Al sera un multiplicateur int6grant.
On retombe donc ainsi sur 1'equation en M de6j obtenue, et I'on voit
que, pour la trouver, il suffit d'integrer par parties les diff6rents
termes de P(y) r M dx et d'6galer a zero la somme des 6elments places
sous les signes f.
61. Inversement, je vais appliquer cette regle a la recherche de
l'equation aux multiplicateurs integrants d(e l'equation differentielle
en M.
Je multiplie par ydx le premier membre de Vl'quation en AM et j'intbgre par parties les differents termes
fp,, M y dx f p,,,r y M dx,
-- d(p.]..'-. (/ dy.,
d ) dl'- - JmM - - J dx,
dx^(//y, dx - dx '-2 p l.. [ -q- P' dxc M dx,
dx:
Egalant a zero la somme des elements places sous les signesf, j'obtiens
I'equation en y
(dr 1d"' r
o = p,,,y- p., --.-7o "
qui est precisement l'6quation P- o, de sorte que, r6ciproquement,
P = o est l'equation aux facteurs integrants de l'6quation en M.