Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

G66

G. FLOQIJ'lET.

d'crdre m- i est
C, -+- C2 y -+.. -4- C,, y 11
c'est-a-dire la meme que celle de l'equation P = o d'ordre m. II en resuite que l'equation
A (y)= C 1,,, (',.. vn,
est une integrale premiere de l'equation diff6rentielle P - o.
Si done j'elimine la constante C,, de cette integrale premiere, en
I'ecrivant
(V 2 ~ ~, )-t Vi (r -') C,,,,
puis derivant, ce qui donne
[(,'... n)-'A(y)] — o,
si ensuite, dans l'equation obtenue, je ramene a l'unite le coefficient de
d"'1y
dr' en multipliant par,,2... e,,,, j'arriverai a une equation diff6rentielle
I (," 0*( 1, V[(I 2. (? ) — IA ( o-
qui aura son premier membre identique avec P.
Ecrivons cette identite; si je pose
elle s'ecrira
lP (~Y)=-;[ [MA(y)].
Or, elle exprime que P(y), multipli6 par I, est une derivee exacte.
C'est la definition meme d'un multiplicateur integrant. Done, toute
expression de la forme (1, e2,...v,)-' est un facteur int6grant.
Cherchons une equation qui fasse connaitre M directement en fonction des donnees.
Je pars de l'identite
MP( )= r) [x [MA (y)]
A, qui represente l'expression An_, A,,...A A,, est de la forme
A (y r d..
A^}=^^lld^^l*^/m-{r'