Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIIHEORIE DES ]EQUAlTIONS DIFFE1IFENTIELLES LINEAIIES. 65
Je dis que l'expression composee
A/, An,_,...A3A, A.
est identique a P.
En effet, cette expression est annulee par les integrales generales
les equations
A I o, A (1 ( 2,A - AA,=,,.., A,,,A, 2...AA,,.v:..v,.
Or, l'integration directe de ces equations montre qu'elles admettent
des solutions coincidant precisement avec?,, y.,..., y,; car, A = o
6tant satisfaite poury -= -,, A, = ~, ('v estsatisfaite poury = V, (f c dx,
A, A, =,, 2,3 pour y -, f, dxf,, dx,.... Done les deux equations
Al, A,-,. * *.A A, - o et P o,
d'ordre m, ont un systeme fondamental d'integrales commun, et, par
consequent, comme dans les deux premiers membres le coefficient de
cr est i, ces deux premiers membres sont identiques; sinon, leur difference, qui serait au plus d'ordre 7n - T, serait annulee par m fonctions lineairement independantes, ce qui est impossible. On a done
'identite
L'expression P etant ainsi decompose, j'observe, d'apres le raisonnement pr6cedent, d'une part, que l'equation d'ordre n -i
A(')= A,, A,,1-i...A2A, =- o
admet les m - i integrales lin6airement ind6pendantesy,,,,.. y,,_,,
et que par suite son integrale generale est
C, y', -+ C. 3-, -!-. C1- C - I
d'autre part, que l'equation
A (y) = I v2.. (,,,,
admet la solution particulirey,,,, et que par suite l'6quation
A (' )- C,/l C' v(.. vil,
ou C,, est une constante arbitraire, admet la solution particuliere C,,,.',,.
D'oiu je conclus que l'integrale ge6nrale de celte derniire equation
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