Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIWIOrlE DlES E:QUATIONS D)IFFIERENTIELLES ELINEi.lUES..

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58. Je vais enfin trouver la condition precise que doit remplir
l'equation differentielle P o, pour avoir un nombre d'integrales
regulieres lineairement ind6pendantes exactement egal au degre de sa
fonction determinante. Dans les deux demonstrations suivantes, P, Q
et D seront supposes sous la forime normale.
Si le nombre des integrales regulieres lineairement independantes
de l'Iquation diff6rentielle P = o, d'ordre m, est egal au degre 7 de sa
fonction deterininante, P pourra se mettie sous la forme composee
P -= QD, ou Q sera d'ordre 7 -- Y et aura pour fonction delterminante
une constante.
En effet, P - o, ayant y integrales regulieres lineairement independantes, peut (n~ 50) se mettre sous la forme P QD, ou Q est d'ordre
rz - y et n'a aucune integrale reguliere, oul D est d'ordre 7 et a toutes
ses integrales regulieres. Done (n~ 36) la fonction determinante de P est
egale au produit des fonctions determinantes de Q et de D. Or celle de
D est de degre6, puisque D = o a toutes ses integrales regulieres, celle
de P aussi; done il faut bien que la fonction determinante de Q soit
une constante.
Reciproquement:
Si l'expression diff6rentielle P d'ordre in, ayant une fonction determinante de degre 7, peut se mettre sous la forme composee P = QD, oiu
Q est d'ordre 72 - 7 et a pour fonction determinante une constante,
I'equation diff6rentielle P- o aura exactement 7 integrales regulieres
lineairement independantes.
En eflet, P etant d'ordre in et Q d'ordre m - 7, D sera d'ordre 7. Or,
a cause du theoreme du n~ 36, la fonction determinante de Q etant du
degre zero, celle de D est du degre 7. Done D= o a toutes ses integrales
regulieres, puisque son ordre est egal au degre de sa fonction determinante. Mais l'equation Q = o, ayant pour fonction determinante une
constante, ne peut admettre (no 54) aucune integrale reguliere. Done,
d'apres le n~ 48, I'equation P = QD - o aura pour integrales regulieres
les integrales de D - o, c'est-a-dire qu'elle aura exactenent 7 integrales
regulieres lineairement independantes.
Les deux propositions qui precedent donnent done le criterium qui
permettra de decider si P = o a 7 integrales regulieres:
Pour que l'e'quation differentielle P = o, d'ordre m, ayant une fonc