Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEOIlE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

6)i,

p, - p, n'etant ni nul ni entier, par hypothese, y ne contiendra pas
de logarithmes.
Une solution de B2B, -.3 est de la forme, j - r1,C2 C - (3 X,
XF y'(.). f^ c() fx ( xL bx)
x IO X -l? CIXx
b2x etant le coefficient de dans la forme normale B2. La quantite
b2 n'etant pas nulle pour x= o, cette solution est bien de la forme
reguliere et appartient 'a 'exposant
PI - (p2 — p) - (p3 - p2) --- P3
Comme elle verifie D = o, elle represente y3
X3 = X' 3(p).
p-3 2 n'etant ni nul ni entier, y ne contient pas de logarithmes.
En continuant de la menim maniere, on obtiendra successivement les
s integrales r6gulieres lineaire-ment ind6pendantes de P =o, sous la
forlne
y,= 9,,( ), 3- = '2(x),..., y,= xs(p,(x),
oiu les presentent le caractere des fonctions holomorphes et.ne s'evanouissent pas pour x = o.
20 Supposons qu'il se trouve entre les racines pi, p,.., ps des differences nulles ou entieres.
Dans ce cas, nous parlagerons les racines p,, p,,..., s en groupes
tels que chacun d'eux ne contienne que des racines dont les diff6rences
mutuelles soient ou nulles ou entieres et comprenne toutes ces racines.
Certains groupes pourront ne renfermer qu'une seule racine. Des lors
il est facile d'obtenir le groupe d'integrales regulieres correspondant
a un groupe donne de racines.
Soient pi, j?. *., ph les racines d'un groupe, rangees dans un ordre
quelconque. On peut alors supposer, comme on I'a vu, que les int&grales regulieres z,, 2,..., z, des equations successives B,= o,