Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIEOIRIE IES EQUATIONS DIlFFlENTIELLES ILL;NAITES. s()
forme normale, en multipliant cette fonction determinante par celle
de Q, on obtient celle de P. Done les exposants auxquels appartiennent
les s integrales regulibres lineairemrent independantes de D = o, c'esta-dire de P - o, sent s des racines de l'Iquation determinante de
P o.
Ainsi se trouve generalisee la propriete6 tablie par M. Fuchs dans
le cas ou 7 est egal a m.
57. Sachant que les s integrales regulieres lineairement independantes y,, 2..... 9 ys de P - o appartiennent respectivement aux racines p,,.P ',. cs de l'Iquation d6terminante, proposons-nous de
retrouver, sous la forme ldu n 9, I'expression de l'integrale y/,, qui appartient a l'exposant donne pA.
J'observe d'abord que, y;. ),..., s etant les integrales de D == o
et leurs exposants,o, p2,... ps elant les racines de l'equation d6terminante de D, il suflit d'operer sur l'equation D - o, qui a toutes ses
integrales regulieres.
D = o ayant toutes ses int6grales regulieres, je mets (no 48) D sous
la forme composee
D - B, B,,..B3 B B,,
oi les 6quations composantes sent du premier ordre, leurs premiers
membres etant supposes de forme normale, et ont chacune une integrale reguliere.
Soit, en g6n6ral, zj une integrale reguliere de Bj - o. On sait,
d'apres le second principe du n~ 55, que zj appartient a l'un des exposants F,.... ps.
Je dis que, p?, r_,1..., ps etant un mode de succession arbitrairement
choisi pour les quantites p, on peut operer la decomposition de D suivant un ordre tel que zj, integrale de By - o, appartienne a l'exposant pi.
En effet, il y a une int6grale reguliere de D -= o qui appartient a
l'exposant p,, et l'on peut alors ecrire D- QB,, ott B, o est du
premier ordre et admet cette int6grale, et ot Q, o est d'ordre s --
et a toutes (n~ 52) ses integrales reguli'res. Parmi less - i integrales
reguliires de Q, =o, il y en a une qui appartient a l'exposant p, et
I'on peut alors ecrire Q, - Q2B1, oil B — o est. du premier ordre et
8.