Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

,If)" 8

(',,. FIOQI.7,Er.

e'quation P =_o pour avoir exacteinent yj inttegrates r~gulii res lin'airemnent inde'pendantes.
Je vais d'abord dc'Montrer une importante proprie'te des s inte~grales
regul~ie's qui existent effectivement, puis je retrouverai leurs expressions de la forrne du no 9, et, enfin, j'e'tablirai la condition qui doit Mre
impose'e 'a P =o pour quo l'on ait s= /
J'admettrai hlos deux principes suivants
jO En disposant convenableinent de la constante introduite par inmte~gration, on peut faire qpie I'expression
fF d
oii F est de la nature indique'e au. n6 14 et appartient 'a 1'exposant. p,
soit une fonchion de merne nature que F appartenant 'a 1'exposant '5 -i- 1.
90 Si I'e~quation diffc'rienuielle P =o, ayant toutes ses, integrales
rouier, et corn nos'e Uniqluenent d' 6iuations ayant chacune toutes
leurs, inte'grales re'gulie'ies, et si P ainsi que toutes les, expressions
composan tes, sont siippose's de forme normale, les int6grales, re~guliebres
Iine'airement inde'pendantes des equations composantes appartiendront
aux mnemes exposants que celles de e'~quation P o, c'est -a —dire aux
racines de e'~quation dd'terminante de P =o.
La dninonstration tre's-simnple du premier principe a he donne'e par
IM. Fuchs. Quant 'a celle du second, elie re'sulte itDrnlediaternent de ce
quie la fonction de'terrninante de P est Ie produit des fonctions de'termninantes des 6quatioins compos~antes.
56. Si 1 e'qutadon di 6rentielle P =.o a s inte'grales re'gidlie'res linc'airement independamies, eles appartienneni a' des exposanis quti sont s des
rac~nes dcl son c'quation de'ierminante.
En effet, mettons P sous, Ia forme cornpos~e
P -QD,
oi D. o r est d'ordre s et a toutes ses inte'gra les r'guli'rs et oii,
Q =o n'a aucune integrate re'gulie're. Les integrales re'guliebres do
p= o sont alors les integrales de D -o. Or, les s integrales re'gulibres
de D =o appartiennent 'a des exposants qui sont les racines de son
equation de~terininante. D'autre part, P, Q et D ktant supposes sons