Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

T11EORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINLAIRES. 5
E n e ffe t, e'~quation P =o, d'ordre m, ayant toutes ses integrales
regulie'res, on pout ( no 48) Ia composer do m equations du premier
ordre ayant chacune une integrate re'gulie're. Les m + — expressions
peuvent d'ailleurs e'tre suppose'es inises sous forme normale ( Do 48).
Or, d'apri's le n0 53, la fonction de'terminante de claacune est du premier degre'. Done la fonction de'termiuiante de P, qui est le produit
(no 36) de ces m fonctions dui premier degre', sera. de degr6e m.
Comme on sait, M. Fuchs a de'montre' que reciproquernent
Si I'equation de'terminante est dui degre' m, e'~quation diff~rentielle
P =o a in integralos re'gulie'res line'aireinent inde'pendantes, et par
suite toutes.
20 Le nombre des intdgrales re'guUieres linedairterent Iindepoendanies de
Ileuao d~/jfe'entielle P -_o est au 1plus e'gal au degre' de oo
(let erninan Ie.
En effet, Ie'quation P. o, ayant s integrates re'guliires line'airement
inde'pendantes, peut se rnettre (no 50) 50115 la forme compos~e
P - QD,
oii = n a aucune integrale re'guli' re et oii D =o est d'ordre s et
a toutes ses integrales re'gulie'res; P, Q et D peuvetit, dui reste, e'tre supposes de forme normalo. La fonction determinante de D est done de
degre6 s d'aprb's lo the'orebme precedent. Mais la fonction. detorminante
de P est (no 36) le produit des fonctions de'terminantes de Q et de D;
done olle est au momns do degr6' s, et, par consequent, s est au plus
egal au degr6' de le'quation determinante de P -o.
55. Lorsque nous avons rencontre' ce dernier theor'eme pour la premietre fois, nous avons vu. que, dans un grand nombre de cas, il y a
egalite', c'est-'a-diro que le nombre des integrates re'gulie'res line'airement inde'pendantes est e'gal au degr6' -y de le'quation de'teri-ninante.
Si yj in, par exomnple, ii y a toujours e6galite6 et les m integrales
r~gli~res appatiennent 'a des exposants qui sont los raCines do I'equation de'torminante (no 23). Mais, lorsque -y est plus petit quo m, il. pout
y avoir exception et l'on a s~y s e'tant le nombre des integrales re'gu.lie'res line'airernent inde~pendantes. 11 s'agit d'approfondir ce cas, <' <i,
et do trouver la condition ne'cessaire et suffisante quo doit remiplir
8