Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

56

G. FLOQUET.

Soil 1'~quation du premier ordre
dx
que j'ai mnisc sous sa forme normale, oii, par consequent, ut et wv ne
contiennent quc des puissances positives de x et ne soul pas tous deux
nuls pour x == o. L'inte'grale ge'nerale est
y-e
On a de'ja vu au no 22 que, Si u nWest pas nul pour x = o, y est une
integrale re'guliebre de la forme xP y(x), tandis que, Si u pour Ix o est
un zero d'ordrc n, auquel cas wr n'est pas nul pour x =o, on a
CtC, C., ('l
qui in'est pas un-e inte'grale re'guliere. t~(x) nie contient que des puissances positives de x, et + (o) nWest pas nul.
Soient ua0 et w, les valeurs de u et wv pour x -o. La fonction caracte'ristique de 1'e'quation conside'ree est
et sa fonction determinante est
U0 P + w'o.
Donc, (lans le premier cas ua0 t: o, oii I'equation a ses integrates r6gulie'res, la fonction de'teriminante est une fonction entie're de p du premier
degre', ct, dans le second cas a0 =- o, ou' I'equation n'a aucune integrate
regulie're, Ia fonction de'terminante est une constante. D'oh' la re'ciproque.
54. Les propositions ktablies aux nos- 22 et 26, en partant d'e'quations diff6rentielles dont tous les coefficients n'e'taient pas infinis
d'ordres finis pour x o, peuvent sc retronver imme'diatement "a
I'egard de 1e'quation P o, oii tonIs les coefficients pre'sentent ic caractere des fonctions rationnelles.
10 Si le'quation d~/erentielle P o a loutes ses inuigo.rales rdg ulie'res,
le degred de son equation de!terminanie est e'gaol a' son ordre.