Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIIEORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINI;EAIRES.

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poser uniquement d'quations du premier ordre admet(ant chacune une
int6grale reguliere. L'6quation AB = o sera alors composee de la meme
facon. Donc (n~ 49) toutes ses inl6grales seront regulieres. D'oh cette
generalisation:
Si l'equation differenlielle P = o est compose'e uniquemnenr d'e'quations
ayant chacune toules leurs integrales re'gulieres, elle aura elle-meme toutes
ses integrales reguli&res.
52. II r6sulte du n0 50 que l'on peut mettre une expression differentielle A sous la forme composee
A - QD,
ou D -- o n'a que des int6grales r6gulires et Q -o aucune. Supposons que B - o n'ait que des integrales regulieres. On a
AB- Q(DB).
Or, d'apres un theoreme du n~ 47, les integrales regulii'res de AB- o
sont les integrales regulieres de DB = o. Mais (n~ 51 ) DB = o n'a que
des integrales regulieres. Done le nombre des integrales regulieres
lineairement independantes de AB = o est la somme des ordres de B et
de D, ou, ce qui est la m6me chose, la somme des nombres d'integrales reguulieres lineairement independantes de B et de A. D'oui cette
proposition:
Si l'equation B = o n'a que des intedgrales reglulie'res, I'equation
AB.= o aura exactement autant d'integrales redgulidres lineairement
independantes qu'en ont ensemble A oe B o t o.
On en tire cette consequence:
Si B = o n'a que des ilteg'rales erdgulieres et si AB = o en a s lineairement independantes, A = o en aura s - i, eitant l'ordre de l'expression B.
53. Je vais a present montrer comment les propositions precedentes permettent de rattacher les integrales r6gulieres (le 1'equation
diff6rentielle P o a son equation determinante. Et, d'abord, je ferai
une remarque importante sur l'equation differentielle du premier ordre.