Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

DA ~~~~~~~G. LOIT J QUET.
b, 6'tant le coefficienit de dydans B,; d'oii 1'on voit que y, a la forme
regulie're. D'ailleurs, les trois inte'grales YI, YI) > -de P o sont line'airement inde'pendantes, car, si 1'on avait une relation identique de la
forme
Cy - C~ i'by x +C2fb dxf3 dr -
en divisant par y,, de'rivant ensutite, puis divisant par z" et de'rivant,
on en deduirait C3 -- o, et par suite, en remontanIt, C, - o, C.= o.
On passerait de m'eme au cas de quatre equations co mposantes, et,
en continuant ainsi, on pr~ouvera que e'~quation P =o, d'ordre m, a
m integrales re'gulie'res line'airement inde'pendantes. Donc elle les a
tou tes.
50. Nous avons vu. que, Si I'equation P =o a tine int6grale re'guIi'ere, on peut rnettre P souls la formeC COMPOS~e'
P - Q D,
oii Q =o n' a aucune integrale re'gulie're et oii D =o est compos~e
uniquement d'e'quations dui premier ordre ayant clhacuine u~ne in tegrale
reguli'ere. II re'sulte alors du no 49 que D =o a toutes ses integrates
regulieres, et du] n0 47 qep o les dmttoutes sans en admettre
d'autres.
On peut donc e6noncer les tbe'ore'mes suivants
Si l'dequation differentielle P =o a des intedgales redgulicdres, il existe
une equation d~/Jerentielle D =o dont les inte'grales sont loutes les integrales redgulieres de la premziere.
Si D =o est le'quation clitjerentielle qui donne les intedgrales redgulieres de 1'cequation P _-o, et si 1'on met P sous la forme composde
P =QD,
l'e'quation Q -o n'aura aucune inie'grale redguliere.
51. On peut fiacilem-ent ge'neraliser la proposition (Iu no 49.
Soient., en effet, A o, B = o deux equations (lifferentielles ayant
toutes Icurs intitgrales re'gulie'res:d'apr's le n0 48, on petit les corn