Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEORIE, DES E~QUATIO-NS DIFFtRENTIELLES LINEAIRES 53

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49. Re'ciproquemnent:
Si l'equation di/fe'rentielle p = o est composde uniquement d'equations
du premier ordre ayant ch4acune une integrale redgulie're, elle aura toutes
ses inte'grales redgulid'res.
Supposons d'abord deux equations composantes
P = B2, B,rzo.
Soient y, Line integrate re'gulib're de B, o Iet z, une de B2 = o. Y
verifie P = o. Une solution y, de B, z, ve'rifier~a au'ssi P o., Or
on a
b, kant le coefficient de dans B1. Done, comine -le montre cette
dx
forme, y, est aussi une integrale re'gulie're de P = o. D'ailleurs, y, et
Y2 sont line'airement inde'pendants, car, Si l'on avait. identiquement
CIj'I ~I C 2 VIbZ, clxen divisant par y1, puis de'rivant, on de'duirait C2 o, et, par suite,
C1 =- 0.
Supposons ensuite trois t6quations composantes
P = B3 B2 B,: o.
Soient y, une 'integrale re'gulie're de B, = o, z2, une integrale re'guJie're de B, o et z, une de B3 o. Soient y, et y2 les deux integrales
reguli~eres line'airement inde'pendantes de B2B B1 o, trouve'es precedemment; on a
y, ety2 verifient p o. Une solution y, de e'~quation. B, B, z3 ve'rifiera aussi P =o. Or, on connai't deux integrales y, et Y2 de le'quation
prive'e du second membre z3, de sorte qu'on ay, par uric equation du
premier ordre qui donne
Z f~ dxfbZ' dx,