Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

52 G. FLOQUET.
tielles de'nudes loutes d'inte'grales re'gidleres, n'a elle-mdme aucune intd'grale redguliere.
48. Consid'rons I'~quation diff~rentie1Ie P7 o, d'ordre m. Si elle a
une integrate re'gulie're, clle aura (nlo 45) une integrate re'gulie're commune avec une equation B4 o du premier ordre, et, par consequent,
elle admettra tou tes les integrales de B, — 7o. Donc (no 39) P se mettra.
sons la formne compos~ee
P -7Q, B,
oiQ, est d'ordre m - i. De me'me, Si Q.= o a une int'grale r'gu
hiere, Q, se mettra, sous la forme
Q[ - Q2B132,oh B2 = o est une equation du premier ordre ayant une inte'grale
reguli'ere et oii Q, est d'ordre m -- 2. En con tinuant de la me'me
manib're, on mettra P sous la forme
P QI),
oh~ l'n a
D -B,313,.). B,)
les B e'gale's 'a zero donnant des 6quations dui premier ordre ayant
chacune tine integrale re'guli'ere, et Q =o e&ant une equation diff~rentielle d'ordre m - j3' n'admettant aucune integrale r6guliebre.
Remarquons que, si P a la forme normale, on pourra supposer qu'ii
en est de merne de Q, Bp, Bp-, B.,B.
Cela pose', il re'sulte, du no 47 quo les inte'grales re'gulie'res de P
sont les integrales re'guuie'res de D o. Si donc on suppose que P o
ait toutes ses int'egrales re'gulieres, D o, qui est, d'ordre m, devant
avoir m integrates line'airement indep.endantes, sera ne'cessairer-nent
d'ordre j3 in; par suite, Q est d'ordre zero, et 1'on a
P =D.
D'oii ce the'ormern
St 19l'eqaation dif/e'rentielle P o a toates ses integrales re'gulieres, on
peat la composer aniquement d equations du premnier ordre ayant chacane ane uate'grale rdgulidre.