Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THlEOPIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRFES.

5i

B(y,), B(y2))..., B(y,) sont alors des integrales de A -- o, et menme
des integrales regulieres, d'apres le n~ 46; de plus, elles sont lineairement independantes, car, si l'on avait
CB(,)13( - C B(4).-.. -iCB(j, ) o,
les C etant des constantes, on en deduirait
B(C, y, + C2 ' —.-. -4 - C ys) - o,
et par consequent Cy, -- C2y2 --... — CsYs serait une integrale et
mme une integrale reguliere de B = o; il en resulterait (n~ 17) une
egalite de la forme
C, ~, + Cy'2 -.. - CyS -m C, +... + C ('/k,
les C'etant constants; or cette egalite est impossible, puisque, par hypothese, w,, V2,...* ' /i y, y'2 * Ys sont lin6airement independants.
Par consequent, si l'on considere toutes les integrales regulieres
lineairement independantes de AB = o, on voit que les unes sont
toutes les integrales regulieres lineairement independantes de B =o,
tandis que les autres correspondent a un nombre egal d'integrales
regulieres lineairement independantes de A = o.
D'oh cette proposition:
L'equation differentielle AB - o a au moins autant d'integrales regulieres lineairement indedpendantes que B = o, et au plus autant que A o
et B -- o ensemble.
Les deux limites du nombre des int6grales regulieres de AB= o
coincident si A = o n'a aucune integrale reguliere. Donc:
Si l'dquation diffirentielle A = o n'a aucune integrale reguliere, les
integrales rdgulieres de AB = o sont les integrales regulie7res de B = o.
J'enoncerai encore ce theoreme:
Une dquation differentielle composee de plusieurs equations diffdrentielles a au plus aulant d'integrales regulieres lineairement independantes
quen ont ensemble les equations composantes.
D'oh il resulte immediatement que
Une equation dfferentielle composee de plusieutrs equations diffdren-?.