Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

50

G. FLOQUE'T.

Ainsi, quand l'equation P = o admet une integrale reguliere, elle
admet les integrales d'une e'quation differentielle du premier ordre ayant
ses integrales re'gulieres.
46. Remarquons ensuite que, si dans l'expression P on fait la substitution
y' F = x' [0 +-, Ilogx+ t.-, (log.'il,
oi les? ne contiennent qu'un nombre limite de puissances de x', on
obtient pour PF une expression de mmee nature
PF — '0 Z, Tl, 1 ogx +-...4-+ (log x),
les Z ayant le meme caraactbre que les. Cela resulte iimm6diatement
dF
de ce que d, est de mmem forme que F.
On peut en conclure que, si dans I'equation diffrrentielle lin6aire
non homogene
u est de la forme
i =- Xs[llo -t IgX + --.. -- U,(lIogx)a],
les series ii,, u..., u, contenant toutes ou en partie un nombre illimite de puissances de x-', cette equation ne pourra avoir aucune
integrale telle que F. En effet, PF - u serait identiquement nul. Or
(n~ 11), si la difference s- r n'est ni nulle ni entiere, on en deduirait
que tous les coefficients y et u sont nuls identiquemnent, et, si la diff6 -rence s - rest nulle ou entiere, on en deduirait:= ' Xo = U Xs "..r, 7 1 I x-r..* =
ce qui est impossible, puisque tous les X ne contiendraient pas un
nombre limite de puissances de x-'.
47. Une integrale y, de I'equation diff6rentielle AB = o satisfait a
1'equation B = o, ou bien, si B (y,) n'est pas nul, B (y,) satisfait a l'equation A =o.
Or, soient w, 2,, les integrales regulieres lineairement
independantes de B = o, et wv, 2,.*.., J /,, Y',, Y'...,5 celles de
AB -- o.