Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIJEORLE DES EQUATIONS I)IFFERENTrIELLES LINtEAIRES. 4 7
male, qui admet pour fonction caracte'ristique xA-Pht(x, p) (no 35), et
l'on a
oiu a0, et ne s'e'vanouissent pas pour x. oa'a cause des deux conditions impose'es "a hk(x,p)
Je dis que 1'e'quation A =o est irre'ductible.
En eflet, si elle e'tait re'ductible, il existerait (no 41) tine equation
D =o, d'ordre moindre a, dont cule admettra,,it toutes [es inte'grales,
et 1Pon pourrait mettre A sous la forme cornipos~ee
A _-Q D
Q 6tant Une expression d'ordre z tel qu'on ait
v. -A- o -- Y..
On peut d'ailleurs supposer que Q et D ont la forme normuale comme A.
Or, soient
les fonctions caract~ristiques des expressions Q et D;leurs degre's en p
ne surpassent pas, comme on sait, les ordres Y. et, c3. La formule du
no 36 donne les deux identite's
D'apre's la premie're, ho(po) ktant uine constante, -ro(p.) et ~()sonl
eux-~ins cnstnts pa suted'apr's la seconde, la fonction 1h(p,
qui, par hvpothebse, est de degre' oz, serait identiquie 'a une fonction dont
le degre' D'est pas supe'rieur au plus grand des deux. nomubres x et a', ce
qui est impossible. Donc e'6quation A o est irr'ductible.
Rernarquons que lo(p), 72(p) et ~10(P) sont les fonctions de'terminantes de A, Q et D, de sorte que la fonction de'terminante de A est
une constante.
Ainsi donc, par la metbode precedente, on peut former des equations diff6relntielLes irreductibles de tout degre'.