Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

le premier cas, les, deux equations A =o et B =o ne. sont ve'rifhies
simultane'ment que pour y- o, c'est-4-dire qu'elles nWont aucune int&'_
grale commune. Dans le second cas, A =o et B -o ont des inte'grales
communes qui sont les solutions de l'e'quation diffhrentielle R, - o.
De lh cette lproposition
St l'equation A -o est rdduciible, ii existe une cequaiion D.- o, d'ordre
moindre, dont elle admet tuntes les intuograles.
42. II re'sulte dii the'orerne preceedent et de la l)roposition du n0O 39
que la condition ne'cessaire et suffisante pour que le'quation A =o soit
r'ductible est que A puisse se mettre sous la forme composee
A -0O1)
oii la somnme des ordres z et O' de Q et de D est e'gafe "a Iordre cc de A.
Tel est le caractb're d'une equation re'ductible.
On sait qu'e'tant donne'e une equation alge'brique dle degre' c,:ayant
toutes ses racines communes avec tine autre, de (legre' x z 9 on penti
ramener la determination (le tou tes les autres racines "a la re'solutilon
d'une equation de degr6' x. De me'nme, connaissant D, on pourra inte'
gret, l'e'quation diffhrentielle re'ductible A = o an moven d'une equahion
diffe'rentielle Q =:=o, d'ordre x, en prenant pour inconnue D.
43. Ii est facile de reconnaitre 1'existence d'e'qUations, diff~rentielles
irre'ductibles de tout degre'..Je vais en effet formier uine equation irre'ductible A =o d'ordre
donne'cc. Je formerai d'abord sa tonction. caracte'ristique A (x%); j'en
de'duirai (n.0 31) ensuite A.
Dans ce but, je prends au h~asard une fonction entiebre de p, h(x,p)
de degr(" c, dont les coefficients ne con1tiennent que des puissances positives de x et ne soient pas tous nUls pourX x
h(x, h)fo (p) ~f hI (p) x -+-l2 (px~
de sorte que It.(pj) n'est pas identiquement nul. J'assujettis simplement
la fonction h(x, p) 'a deux conditions, savoir A0,,(p) sera une constante
et/hi (p) sera (le degre cc.
Cela pose', il existe une expression diff~rentielle A, de forme nor