Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

1, Z,
L I

C.. F'LOQUETr.

De'terminons q,~ q,, q2, q,q7 par les conditions suivantes, ce qui es.t
toujours possibleqbo=a
qo t[ b o a,
qo u,4- qu.,.qt., q - -1 — I q 1 I -4 q, b -
nous trouverons e'videmment des valeurs ne contenant qu'uLn nombre
limite' de puissances negatives de x, et nous aurons
QBa0d +, ~..+a -+ AU,
dxI
U e'tant d'ordre int'~rieur 'a e3. Or- cela. pent, s'e'crire
A QB -+-L1
en posant,
II ------ ~o -
expression diff6rentielle d'ordre, inf~rieur "a P3, et dont les coefficients
presentent le caracte're (les fonctions ration-nelles.
Ii re'sulte (de 1'egalite'
A -QB +i R
que toute 'integrate commune aux deLIX equations A =:- o et B o-est
une integrale de R =o, et que, inversement, toute inte'grale commune
aux deux &quations B o et R o es't une inte~grale de A =o.
39. Supposons que toutes les inte'grales de B- o satisfassent "a
A -o:alors' cles satisfont aussi 'a R -— o. Mais le'quation R = o, e'tant.
(1ordre inf6rieur 'a ~, ne petit ad 'ettre ~3 inite'g.rales line'airement inde'pendantes que si R s'evano nit identiquement. Do'oi cette proposition
Si l' e'quation A — zo admet aloues les intd'grales de le'quafion B =o
A se met sous la forme compose'e A -_QB.
Remarquong que Q est d'ordre v. - ~3, et que, d'apri's le n0 36, si A
et B ont la formne normale, ii en sera de m~me de Q.
40. Supposons l'6quation. B o irre'ductible, et i'maginons qu'cI el
ait, une inte'grale commune avec le'quation A =o, auquel cas 1'ordre