Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THIEMLTE DES EOQUATIONAS DIFFE'RE-N-TEILLES LINJLES.3

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Ainsi, pour obtenir' la fonction de'teriminante d'une expression diflf6 -renftielle, 'on formera sa fonction caracte'ristique, qu'on multipliera
par x-~, puis on de'Neloppera le produit suivant les puissances ascendantes (le x:le coefficient dui premier termne scra la fonction de'terininanie. RenmarqUOns quo, ayant, g, il suiffit (le multiplier la fonction
car~acte'ristique par xo? puis de faire x =o
33. e'~tablirai i'mmg'diatement, qulciques proprie'te's de 1'e'quation
de'terminante de 1'expression diff~rentieIle P.
Je remarque d'abord que, Si p,,, est identiquemnent nul, la fonction
caracte'ristique, et, Par suite, la fonction determinante, est, divisible
par p. Si 1'on effectue cette division, et que 1'on change ensuite p en
po -i- i dans le quotient, on obtiendra, en 6galant "a zero, e'~quation de'terrninante de l'~quation dilfhrentiellc d'ord~re in - i obtenue en prenant pour inconnue d)"
TX
On aper~,oit encore de suite que, si dans 1'e'quation P:=o on pose
y = xo %o
I'equation de'term-inante de 1'e'quation diff6rentielle en w — aitnsi obtenue
aura pourii racines celles, de 1'e'quation determinante de P = o, dirninu'ees
dep,. En effet, Ia fonction caracte'ristique de e'~quation en w, P (xPow) =o,
est, P(xP-+-P). Elle se d6duit donc de la fonction caracte'ristique P(xP) de
I equation en y, en changeant p en po +'~ p, et, par consequent, ii en
est de me'me des %'quations determinantes.
Enfinl, si dans le'quation P o on pose
f.1 (x) (A',
y(x) e6tant une fonction holomorphe dans le dolinaine du point zero,
et non nulle pour x -o, L'equation determinante de 1'e'quation diffhrentielle en wv ainsi obtenue sera la me'rne que celle (le 1'e'quation en Y.
En effet, on voit sanis peine que, e'~quation en w e'tant de la forme
d A I~+P p, d P4,,,2 +I) ~~V