Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

On en de'duit
Done x~f (x, p) est la fonction caracte'ristique (le lexpression diff&rentiell e
U10 X -+ it,,. dx- --
32. Nous avons vu que le produit
x~ P~x) pop-)..(P — Mm-4) p1 p1-i... (p ni ~,).
pouvait ktre de'veloppe' en une serie proce'dant suivant les puissances
ascendantes de x et limite'e 'a gauiche, dont les coefficients sont des
fonctions entiebres de p de degre' m an plus. Cherch-ons le premier terrne
'a gauche dans cette se'rie. 11. est visible que les exposants de x dans les
de'norninateurs de x-P P(xP) sonL successiverment les nomnbres
de'finis au no 16. Si (lonc g est leur plus grande valeur, le premier
terme de Ia se'rie est de la forine G~)G(p) e6Lan t une fonction entibe'l
de p, inde'pendante de x. Quant an degr 'y (lde cette fonction en p, 6gal
au plus 'a m, il est e6vidermnent
fit1 — 1
i e'tant l'indice du premier nonibre rH egal 'a g, c'est-'a-dire i 6'tant inmdice caracte'ristique. Datis le cas particulier i =- o, l'.e6qtation G (p) =o
de degre6 m, n'est autre chose que l'~quation i-entionne'e au n0 23, et
que M. Fuchs a no mine'e I'edquatdon fondamentale ddterminante.
Nous ge'neraliserons alors cette denomination, el, nous appellerons
dans tous les cas et pins sim-plement equation ddierminante de 1'e'qualion diff~rentielle P = 0 011 de 1'expression P le'quation G(p) o. Son
premierii membre G (po) sera la fonctioni cdienlninante.