Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THIEORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINiEAIRES.

35

d'une equation diff6rentielle, car c'est elle que nous avons rencontree
au n~ 23 pour ]'equation particuliere
/'r, t () 1 P2 (xX) d'1, +..: " P_.
dxm1 -4-. ely';'; i- ~;-...-4- — ~;;- y' -- o.
dxg x ci.X -I X2 d.xnm2 - X'X
Formons actuellement la fonction caracteristique de P; nous obtenons
Xj=' -.+ —, '., — m —l -.., + pn
'I' (x/) -- x~ - px' x- " -
J'en deduis
p-i'... - m -i) p% o.- 2)
X — P(X?~) 4 * —I — /-I) _.p I ---?I. ---- )- +. + m.
D'oui l'on voit que le produit x-PP(x) peut etre, cornmme les coefficients p, developpe en une serie procedant suivant les puissances entieres de x, ne contenant qu'un nombre limite de puissances de x-' et
dont les coefficients sont des fonctions entieres de p du degre m au
plus.
31. Si l'expression diff6rentielle P est donnee, sa fonction caracteristique P(xP) est connue.
Inversement, supposons que la fonction caract6ristique soit donnee
sous la forme xPf(x, p),f(x, p) etant une fonction entiere de p dont
les coefficients sont des fonctions de x. On connaitra aisement l'expression differentielle.
En effet, une fonction entiere de p,f(x, p), de degre m, peut toujours se mettre, et d'une seule maniere, sous la forme
f.(x, - U, -= un p(p - i).. (p-,t +Ij + I,,) p- ( p,-+..).(p -- m. - 2)...
- U2p(p I ).-r- p I+ Uo,
Oil l'on a
I.2.3... *

en posant

f(x, p + 1i)-f-(x, p) — Af(x, p).