Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

d'ordres finis pour x =o, qui n'ont, pas m - i 'integrales re'gulibres
line'airernent inde'pendantes, i e'tant, leur indice caracte'ristique.
29. En resume', e'~quation difl~rentielle P =o, dont tous les coefficients ne renferment, qu'un nombre fimite' de puissances negatives de x,
a au Plus m -- i integrates re'guliebres line'airement inde'pendan-tes. Si
i=o, elle les a touj ours. Si i > o, elle les a dans un grand nombre de
cas, mais il y a des exceptions. 11 s'agit, donc maintenant, dapprofondir
nos recherches dans ce cas 1> o, et d' arriver 'a preciser les conditions
necessaires et suffisantes que doit remplir e'6quation diff6rentielle
pour avoir exactemient m - i integral es re'gulie'res. Nous sommes ainsi
amenes 'a ~idier plus profonde'ment les e'quations dont les coefficients
pre'sentent, tous le caracte're des fonctions rationnelles. Observons
encore que e'~quation du second ordre qui noues a servi d'exemple
d.'exception s'est offerte 'a nous comime ayant ses integrales communes
avec deux. equations du premier ordre. Cette remarque conduit 'a la
notion fe'conde de la re'ductibilite', dans la the'orie des equations diff6 -rentielles lineaires.
TROISIEME PARTIE.
30. Soit le'quation diff~rentie11e line'aire lhomoge'ne
dChy dxII,- I
dont, les coefficients p, dans le domaine du point zero, sont developpables en series convergentes, proce'dant, suivant, les puissances entiebres, positives et negatives d~e x, mais ne contiendront, de'sormais
qu'tin nombre liinits de puissances negatives.
Je vais de'finir la fonction caracte'risiique.
Dans l'expression diff~rentielle P( y), fiaisons la substitutiony =xp,.
Nous obtenons ainsi une fonction de x et de p, P(x?), que nous appellerons avec M. Frdbenius lafonctioni caracte'risdique de e'~quation differen~tielle P = o ou de I'expression diffhrentielle P.
INous avons de'j' eu l'occasion de former la fonction caracte'ristique