Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEORIE DES tQUATIONS DIFFtRENTIELLES LIN1tAIRES. 3

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de m - I 6quations du'premier degre6 qui vont de'termineriles in - 1 nconnues pli-,[,' Pi~2' *, Pin
dn-i — (li dln- I il
___________ (_dmxn dx1-.r,,-; dn-iy
Leur determninant
dx'-l.- TI
dxm -i-,. Tmn'est pas identiquement nul, puisqie (n0 4) los fonctions y,, 2y2'
yi- sont suppose'es lin6airement inde'pendantes. Soit Ak 10 de'terminant obtenu en rempla~ant dans A,, la colonno des de'rive's d'ordre
m -i-k par les seconds membres. On aura
All
Or, lorsque la variable accomplit une revolution autour du point ze'o,0
les coefficients pI' P29... pi reprennent leurs valeurs primitives, et
Y'9 Y2 * Yin-i acquie'rent des valeurs qui s'expriment en fonctions
fine'aires, hoinog'eones, 'a coefficients constants des prerni'res. Donc A/,
et AO sont multiplie's par un me-me ddterminant, dont les elements
sont les coefficients de la substitution qui permet d'exprimer les nouvelles valeurs de y,, Y2.. yin- 'a 1aide des anciennes. Doncpi1+4. ne
change pas, et, par suite, les fonctions obtenues pour pi,1, pi-~2 *...,9p,:
sout monotropes dans le domaine du point zero. L'e'quation ditffrentielle ainsi construite avec des coefficients mono tropes, ayant au m-fomls
rn - i integrales re'guli'ores line'airement inde'pendantes, aura aussi
(no 25) ses coefficientsp1~1,p1.,,infinis d'ordres finis pour x = o
et 1'indice caracte'ristique sera eigal ou inf~rieur 'a i. Mais on petit, choisir les arbitrairesp,I P29 *... 'pi do faqon quo l'on ait