Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TlIJORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINLRAIRES. 2

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ayan t uneinYgale r'gulii"e pisqu'elle en a au moins mn - s, adinet
(nO 17) une integrale
oh Lla fo nction 4i(x) est holomorphe dans le doinaino dii point zero, et
non nulle pour x =o. Faisant la substitution
Yy, ~fz dx,
nous obtiondrons 1'e'quation
dz I z (/171-2 z
Q (z) - - 71m + qI 41fl2,- z 0
oh los coefficients q sont don nes par les relations (i) dui n0 18. Le'qualion P o ayant par hypotle'se au momns m - s integrales re'gulie'res
line'airement inde'pendantes, le'quation Q: o en aura (n0 18) au momns
Mn - I- S. Or, pI, p2t...~ ps no contenant qu'un nomlbre limite' de
puissances de x-', ii en est de merne (no 21) de q49 q2I 9.. qs; et,
puisque lo the'ore'me est suppose' de'montre' pouar I'equation Q = o
d'ordre m - i, les autres coefficients qs-4i, qs~-2~ 9 qn-i seront eux-,memes infinis d'ordros finis pour x = 0'. Done les coetficientsp,
Ps~-2, f Pin-' no ronferment aussi 'no 21) qu'un nombre limit' de puissances negatives d e x, et alors, dWapres le no 20, il en est de m~me de,,
Passons "a la seconde partie de la proposition. Soit i l'indice caracte'
ristique de e'~quation Q o; on a i <S, puisque le the'orehme est suppose vrai pour cette equation. Or, i e'tant l'indice caracte'risfique de
Q o, fi, est la plus grande valour des nombres
et est le premier qui atteint cette valour maxima. Donc, d apre's le
n0 24, Ili jouo exactemont le meme ro~le dans la suite des nombros
Do plus, d'apres le nI 20, oni a
Hill- Hi.