Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

c'est-a-d(ire
(6) Ht, n,, I'2,...,,_l <n,.
3~ Si k > i, k etant au plus egal a S,' la plus grande valeur des
nombres (4) est H,; par suite, la plus grande valeur des nombres (3),
augmentee de m- k, est lH,; done; 4- m- k est egal ou inferieur
a lil, ce qu'on peut ecrire
~',,+ (,,-,) - -_II,-, ou nk ~n,, ^
c' est-a-dire
(7) zn,+, n;,+..., n <n;,.
Les trois conclusions (5), (6), (7) renferment la d6monstration du
thloreme enonce; car (6) et (7) expriment que la plus grande valeur
des nombres (2) est celle de 11', qui, d'apres (5), est egal a ni, -i,
c'est-a-dire a g, - i, et les inegalites (6) montrent que n Iest le premier des nombres (2) qui soit egal a g - i.
Remarquons que, si S =m —, i, est l'indice caracteristique (le
I'equation Q= o.
25. Nous pouvons maintenant demontrer la proposition suivante:
Lorsque, dans l'equation differentielle P= o, les coefficients p,
P2, *.., Ps ne contiennent dans leurs developpements qu'un nombre limite'
de puissances negatives de x, si cette equation admet au moins m - s integrales regulidres lineairement independantes, les autres coefficients ps.,,
Ps+2... p,,, ne renferment eux-mdmes qu'un nombre fni de puissances
de x-, et, de plus, I'indice caracteristique est egal ou inferieur a S.
Cette proposition a ete etablie au n~ 20 pour une equation diff6rentielle d'ordre m = S - r. Je prouverai done simplement que, si le theoreme est vrai pour l'ordre m -- i, il l'est aussi pour i'ordre m.
Et, en effet, I'equation
P(y) dx" P dxII- + +m 0