Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

vtHEORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINLAIRES. 2.27

Lorsque, dans ]'equation p- o, les coefficients p,, P29... t sn
contiennent qu'un nombre liinit6' de puissances negatives de x, on sait
(no 21) que les coefficients q4, q2,... q3, dans e'~quation Q =o, ne
itenferment, eux aussi, qu'un n.ombre fini de puissances de x-'. Celca
6tant, si g, est la plus grande valeur des nombres
et Hi le premier, de leur suite qui soit 6'gal 'a g1, alors, dans la suite
des nombres
la plus grande valeur sera g, - i, et le premier qui soit e'gal 'a g1 -I
se ra
En. effet, il re'sulte du n0 21 que, k e'tant eau plus e'gal 'a S, l'ordre
infinitesimal -a de q, est e'gal on inf~rieur 'a la plus grande valeur des
nombres
et, si cette plus grande valeu r est celle du dernier, on a Z~7h Or,
augmentons tous les nombres (3) de la maine quantite' m - k, cc qui
donne
i~Si k I1,, i, 6'tant l'indice dedfini dans 1'e'nonce', HI, est plus grand
que tous les autres nombres (4); done, dans ce cas, le plus grand des
nombres (3) est le dernier TA", et par suite -6 74 Ainsi, 17j - ouI L
ce qui est la me'me chose~ 67, 0-+- (mn —i -i1 est e6gal 'a z~i,-v- al —z -rI,
e'est-'a-dire'
-20 Si k < i1, la plus grande valeur des nombres (4) est inf6rieure
Hi L; par suite, la plus gran de valeur des nombres (3), augmente'e dle
rn- k, est inf~rileure 'a Ho1 done, a fortoi ' -~-rn k est moindtre
que Hi,, ce ju.'on pent ecrire

+~ (M -i) -— IfrKt< i 0 li, -I0 I1',

4'