Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THIEORIE DES EiQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

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a toutes ses int6grales regulieres, il en est de meme (n~ 18) de l'equation d'ordre n - r, d'-1 z dm-:2Z
Q(z) = dx -- q, dxm-2 + q-o.
Done, d'apres l'hypotlhese, les coefficients q sont de la forme
Qk ()
qk= xk
Par suite, les valeurs de p,, p P..., pn-i tirees des formules (i) du
n~ 18, sont de la meme forme (n~ 21)
P.(x) P2(x) Pm_,(t)
pl --- p^= ~ ] *** x-("= —..
x p 2 p xr -
11 en resulte (n~ 20) que p, s'ecrira aussi
Pm (x)
pm - x"'
Done, pour que 1'equation diff6rentielle P- o ait toutes ses int6 -grales regulieres, il est necessaire qu'elle soit de la forme
dm.r P (x) dm-l.y P2(x) d'n-2y P(X) _o
d- '- -- dm_ —.. —,- y - o,
dxm" x dx"' x 2 dXm-2 x -
ou les fonctions P,, P,..., Pm ne contiennent dans leurs developpements que des puissances positives de x et peuvent s'annuler pour
x -0.
Remarquons que cela revient a dire que les coefficients/p,,p2,..., pml
ne doiventrenfermer qu'un nombre limite de puissances de x-', et que
les nombres IIo, I 11,, I.,. Hm, definis au n~ 16, doivent etre egaux
ou inf6rieurs a m.
D'oi la proposition suivante
Pour que l'equation diffrentielle P o ait toutes ses integrales regulieres, ilfaut que ses coefficients ne contiennent dans leurs ddveloppements
qu'un nombrefini de puissances negatives de x, et en outre que son indice
caracte'ristique soit zero.
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