Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIIEORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES. 23
Supposons d'abord m = dans P o, et considerons l'equation du
premier ordre
dr
- 4-p+ r- o.dx
Cette equation, ayant toutes ses integrales r6gulieres, aura (n0 20) son
coefficient p, de la forme
P,(x)
pi -
P x
oh P, (x) ne contient que des puissances positives de x et peut etre nul
pour x-. Donc, dans le cas M = I, I'equation (differentielle est
necessairement de la forme
(dr P. (.r)
dx- + x — =
C'est, du reste, ce qu'on peut e6tablir (lirectement au moyen de
I expression de l'integrale generale
y - e-P dx.
Sip, est infini ('ordre -, = n + i superieur h i, n 6tant positif, cette
integrale est de la forine
C1 Ca Cn
-- --.... -
yex = x x P + X),
ouil (x) est holomorphe dans le domaine du point zero, et non nul
pour x= o; et, par consequent, y n'est pas une integrale reguliere. Si,
au contraire, on a -, < I, y se reduit a
r =- x? (x),
et par consequent est reguliere. II faut done, et mnme it suffit, que p,
soit de la formne
Pt -
poLur que l'equation ait toutes ses integrales regulieres.
Supposons maintenant m= 2 dans P o, et considerons l'equation
du second ordre
x72 r dr
d2 +P% +T,=0.