Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

Q,(x) ne comprenant que des puissances positives de x et pouvant contenir le facteur x.
Supposons maintenant que les coefficients q,, q2 qs ne comprennent qu'un nombre limite de puissances de x-', el soient
Q,(x) Q2(x) Q~(x)
q_. — ~Q,..., -- ^,
XVJ XVS
les fonctions Q,, Q2,... Q ne renfermant que des puissances positives de x et pouvant d'ailleurs s'annuler pour x = o. Le n~ 19 conduit
alors aux consequences suivantes. La valeur depp, tiree de la prenmiere
formule (i) du n~ 18, sera pour x = o infinie d'ordre fini egal ou inf6 -rieur au plus grand i., des deux nombres v, et i, ce qui permet d'ecriire
P, ( x)
P, (x) ne contenant que des puissances positives de x, et P, (o) pouvalt
6tre nul. Substituant cette valeur dans la deuxieme formule (i), on en
tirera pour p2 une expression infinie d'ordre fini egal on inf6rieur au
plus grand -2 des trois nombres v,, 2, P, + 1, ce qui permet d'6crire
P2 Z),
Pz~^'
P2(x) ne contenant que des puissances positives de x. Et ainsi de suite
jusqu'a
P, (X)
PS --
Donc les coefficients p,, P2...., pS ne renferment eux-memes qu'un
nombre limite de puissances de x-', et 1'on peut aisement trouver la
lirite superieure de l'ordre infinitesimal (le chacun d'eux.
22. Toutes ces remarques etant faites, nous pouvons dles a present
recllercler la forine necessaire que doit affecter I'equation differentielle
P=o pour avoir toutes ses integrales regulieres. M. Fuchs a dejh
resolu cette question, mais notre intention est d'employer une melthode
differente.