Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THIORIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

21

J'en conclus aussitot, d'apres le numero precedent, que, si p, p.,...,
pn-, ne contiennent qu'un nombre limite de puissances negatives de x,
il en sera de meme de p,,, et, de plus, que, si g est la plus grande valeur des nombres
nio n,, IH,..., HI L-.,
I'ordre infinitesimal,,, de p, sera au plus egal a g, c'est-a-dire que
l'illice caract6ristique de l'equation est egal ou inferieur a m -.
D'oi cette proposition:
Lorsque, dans l'equation diffdrentielle P = o, les coefficients p,, p,'..
Pin- ne contiennent dans leurs de'eloppenments qu'un nonbre limite depuis_
sances negatives de x, si cette equation admet une integrale re'gulidre, le coefficient p, ne r'enfermera lui-mneme qu'un nombrefini de puissances de x-';
deplus, I'incldice caracteristique de l'dquation sera egal ou inferieur ac n -l.
Remarquons aussi que pn peut s'ecrire
Pm (x)
Pil - x89
Pz(x) ne comprenant dlans son developpement que des puissances positives de x et pouvant s'6vanouir pour x _ o.
21. Supposons que les coefficients p,, p,..., Ps de I'equation
P = o ne renferment qu'un nombre limite de puissances de x-'. Les
valeurs des coefficients q,, q2... q de l'6quation Q - o du n~ 18,
donnees par les formules (i) de ce numero, sont alors des solrmmes d'expressions de meme forme que celle du n~ 19. Dotc, d'apries les remarques faites en ce n~ 19, les coefficients q,, q...., qs ne contiendront eux-memes qu'un nombre fini de puissances negatives de x, et,
de plus, I'ordre infinitesimal de q, k etant au plus egal a s, sera egal
ou inf6rieur la plus grande valeur x des nombres
Z0-o -- /,, + q- -I, i' - - 2,..., I, - k,,
et, si cette valeur maxima est celle du dernier za, q, sera exactement
d'ordre 7Z. Par suite, on peut ecrire
k '(X
q X./%f^