Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TIIIEORIE DES EQUATIONS )DIFFIERENTIELLES LINEAIRES.

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est clair que la derivation n'altere pas cette forme: done les integrales
d d2 (_ 33 (d s'S
dx dy, 'lx \ I 'x.1
(le l'equation Q = o sont regulieres.
20 Soient z,, 2,..., zs_ s — i integrales regulieres lineairement
independantes de l'equalion Q = o. On peut les supposer de meimc
nature que F et ramene'es a la forme simplifiee. L'equation P =o admettra les s integrales
Y,, 9' -'Y, fz, dx,..., 'S )"I, SfzSi Cx
qui sont aussi lineairement independantes, car, si 1'on avait
C, y' + C2,)'2 +.... — C,n = o,
on en d6duirait par la derivation
C2 Z3, + C3 Z2 4-.. -4- C, Z,_- -- o,
ce qui est contraire 'a l'lypothbse. De plus, ces s integrales sont regulieres. En eflet, chacune des solutions z est de la forme simplifiee qui
comnprend des fonctions d de la forme
) Ca 5.
Si done nous multiplions z par dx, nous aurons a integrer line
somnme de diff6rentielles telles que
x( Iogxhdx',
ldont l'integrale est bien connue:
\ o x;gx dx C — Y! ox-I- ca logx)' +-const.
Multipliant ensuite le resullat de l'int6gration fz dx par y, — P + (x),
on voit aisement que le produit obtenu est aussi de la foime F. Done
les integralesy,, '?/..., s de l'equation P = o sont regulieres.
3.