Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

10 8 G. FLOQUET,
trope dans le domaine du point zero, continu et monogiene dans ce
lomaine a ce point pres. 11 e est done de mnme des coefficients q.
Remarquons que, pour que les coetficients q possiedent ces proprietes,
il n'est pas necessaire que y(x) ne conlienne dans son developpement
(que dles puissances positives de x: i suffit que o (x) soit d6veloppable
en double serie, procedant suivant les puissances entieres, positives et
negatives de x, et convergente dans Ie domaine du point zero.
Cela pose, je suppose que I'equation P = o ait S intlegrales reguliieres
lineairement independantes. Elle admet alors, d'apries le tlheoreme du
n0 17, une inteugiale y, x-P (x), oiu?(x) remplit les conditions susindiquees. Posons
y', Jfzdx,
(de maniere h obtenir l'equation Q = o; je dis que F equation Q = o
aura S - integrales regulie'res lineairement indedpendantes, et que, reciproquement, si l'dquation Q - o a S - i ite'grales regulieres lineaiement independantes, I'equation P = o en aura S.
i~ Soient y,, y2'.., y. S integrales regulieres lineairement independantes de l'equation P = o. Comrne on l'a vu, on peut les supposer de
mime nature que la fonction F du n~ 14 et ramenees a la forme simplifiee. Ie'quation Q o admettra les integrales
Z I -- -s Z - - * * -
dx ' x Y, dx y,
qui sont aussi lineairement independantes, car, si l'on avait
C 2i Z -T- C3 Z + - Cs ZS-, 0,
on en d6duirait par l'int6gration
C, y, -3 C23'2 +...-r- C, S-,
ce qui est contraire ha 'lhypothlse. De plus, ces S - ~ integrales sont
regulieres. En effet, JY, )'3..., yS sont (le la forme simplifi6e; or, si
1'on divise paly, -- x,(x), on trouve une expression de meme forme,
puisque les quotients tels que dans la parenthese sont evi(lennnent
holomorphes. Done les rapports, *. sont de la forme F. II
y'I y, Y