Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

THEORIE 1)DES EQUATIONS DIFFEREENTIELLES LINEAIRES. 1 7
de la forme annoncee xP y(x), la fonction holomorphe etant dilterente
de zero pour x = o, car, si,~(o) 6tait nul, q,(x) renfermerait commne
facteur une puissance de x que l'on reunirait a xP.
Remarquons que + (x) ne contient dans son d6veloppement que des
puissances positives de x.
18. Supposons que I'equation P - o admette 1a soluliony, -- xe (x),,(x) etant holomorphe dans le domaine du point zero et +(o) different de zero. Faisons la substitution
)z t yfzdx.
Nous obtenons I'equation diff6rentielle lineaire honmogene d'ordre
7i1 -- i
(fm- z -l d" - 2 z
Q ( -! - q qmi z 0-=.
'Q(zW- c.x"-... ~ dx"1 —^ 1..... " '~ _ o.
Les coefficients q de l'equation Q = o seront, cormme les coefficients p,
monotropes dans le domaine du point zero, continus et monogenes
dans ce domaine a ce point pres. C'est ce qui r6sulte immediatement de
l'inspection des valeurs des coefficients q:
_, ( d d dX )X
I I, ( nz I- i) Cd2 r,, d I
v-^rL I.2 (2X: (/ l t)Pi dx l +p221 d,I (,,r -,... ( i -- 1- 1i) dky, (,, -i) (m -2)... (, - # + i) d11-1,
~qk^. d^ +i7.2. k + Ptt
1.2.. 2(I -2) P2 dxk-2 ( dx
es en tier, et, ar cosequent, chacun -- ces pro(luits est monoEn efifet, chaque piroduit d' est de la f'or'3
/I -lX) '
oht v.west entier, et, par eonsequent, chacun de ces pvoduits est mono3