Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

It) GASTON FLOQUET.
le nombre. total des inte'grales redguliecres line'airement incdeoendantes est
seulement S; car on pent exprimer los S integral es re'gulie'res liineaire.ment inde'pendantes 'a 1'aide de S des nouvolles, et par suite toutes
los autres 'a l'aide de ces dernie~res.
Si l'e'quation P =o a S inte'grales re'gulie'res linedairement inde'pendantes, et seulement 5, elle en aura S de m~me nature que lafonction F
du no 14, etlseulement S. Si, en offot, les S integrales donne'es ne sont
pas de la nature F, elles sont des agre'gats lineaires, hornoge'nes, 'a coefficients constants, d'expressions F. Groupons alors, (lans chacune do ces
integrales, les expressions F en termes tels que, dans deux termes quel1on ques, la difference des exposants des deux puissances xP en facteur
ne soit ni nulle ni entie're. Nous obliendrons ainsi des termes qui,
comme on l'a vu., sont eux-m~mes des integrales re'gulie'res fine'airement inde'pendantes, et ces inte'grales sont de merne nature que F. Or,
ces termes sont an nombre de S, car' S'il y en avait plus que S, e'~quation P =o aurait plus do S int'grae rglres li~iemetndpendantes; et, s'il y en avait momns quo S, los S integrales donne'es, et
par suite, d'aprebs la remarque precedenes, toutes los inte'grales re'guli'eres de le'quation p= o, s'oxprimant line'airement 'a laide do ces
terines, cotte equation, d'aprebs la me'me romarquo, aurait momns do S
integrales re'gulie'res line'airernent inde'penciantes. L''qunation P -o a.
(Ionc S int6grales line'airement inde'pendantes, do. mmem nature quo F,
et appartenant par consequent 'a dos oxposants de'termine's.
Etifin, jo vais ktablir la proposition suivante, qUi a une importance
capitale dans cetto the'orie
Si 1equation diffe'rentielle P =o a parmi ses integrales une integrale
reguliere, elle a aussi une intedgrale de la forme x9 ~p (x), out la Jonction (x) est liolomnorpize dans le domaine du point ze'ro et ne s'evanouit
pas pour x -o.
En effot, 1~6qunation P o, aya-nt une integrale re'gulie're, a, d'apre's la
remarque pr'ce'dente, une integrale do me'mo nature quo la fonction F
dui no 14, quo l'on pout supposer ramene'e 'a la forme simnplifie'e
X? [ I~ lgx ~.,,(IogX),z].
Cotte expression ktant uno integrale, ii on est do me~me, comme on l'a
vu. au n0 1 5, do xP q.Or, cetto dernie're solution est, dans tous los cas,