Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

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G. FLOQUET.

c'est-a-dirc, dels facteurs constants pres, les fonctions 9, ne contiennent dans leuv-s Ldveloppements qu'un nombre fini (e puissances negatives de x. Ces integrales particulieres, ou les o prennent pour x - o
dles valeurs infinies d'ordre fini, sont les seules, jusqu'a present, pour
lesquelles on ait d6termine les coefficients des series 9. Je les appellerai,
avec M. Thom6, inte'grales regulieres de l'equation P o.
Considerons une integrale reguliere. Chacun de ses lermes
zx[y0 -- 1_ logx...~+ 9(logx) ]
est (de m6ne nature que la fonction F du n~ 14 et peut alors se ramener a la forme simpllifie. II suffit pour cela de reduire les q au plus
simple (denominateur commun et (le reunir ce denominateur au facteur xr. O u obtient ainsi le terme
t?[0o +, logX T...-4- ~ (log~X) ],
et il appartient h 1'exposant p. Toute int6grale reguliere peut done se
mettre sous la forime
CX[ Epo 4-+ I(ogx +-..~ r4- a,(IogX)]
+4 C2XP [ 20- jl l ogx +-... 4- f,,,, (logx)
It C", r o 4 4?,. Ogx X +. * --, C, ( 10 g X ) 7}],
ou les C sont des constantes, oh les n termes appartiennent respectivement aux exposants p, p, pn, les 'onctions ertant holomorphes
dans le domaine du point zero.
II est bien entendu que les propositions enoncees au n~ 11 subsistent
ici, et que, en particulior, si l'expression suivante, de rnmme nalure
que F et de forme simplifiee
X[ o4- +,, logx - *..-+, (logx)],
est une integrale, x'q, est aussi une integrale.
16. Nous aurons surtout a examiner des equations differentielles
P =.o dont les coefficients p prendront eux-memes, pour x -= o, des
valeurs infinies d'ordre fini, c'est-h-dire dont les coefficients ne contien