Sur la théorie des équations differentielles linéaires.

TJ1E01RIE DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

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changeant x en a -+ x, ou en -- Si le point est 'i 1infini. Nous consid&rerons donc e'6quation diff~rentielle line'aire homog'ene
oii les coefficients p sont monotropes (lans le dornaine dui point singuHer zero, continus et rnonogbnes dans ce domaine 'a ce point pres, et
par consequent de'veloppables en doubles series, proce'dant suivant Ies
puissances entie'res, positives et negatives de x, convergentes clans le
voisinage du p)oint zero.
Ii re'sulte des n1os 10 et I1 que toute solution pourra se meittrc sous
la forme suivante, dans le domaine de l'ori'gine, et d'unc seule manie're
CXr, [(pro +I (pr~t logX +. r ai- (1ogx)'i]
~C2 xr yr, +O~r, Iogx~.. -4 (~Dr. a.(logx)%]
~C.Xrn [cr,,0o + Yr IlogX- ~ 4.. + (lg )'~I
les fonetions remplissant les me'mes conditions que los coefficients p.
14. J'erploierai la denomination introduito par M. Fuchs "a le'gard
de toute fonction F susceptible de prendro la formo
F = xL[-v, logx-H.~ logx)x],
quo j'appellcrai sa forme simpl/iei'e, oh' les fonctions p sont hoobmorphes dans be domaine du point zero et ne contiennent par conse'quent dans Icurs, de'veloppcrncnts que des puissances positives de x, et
oji, de plus, cos fonctions ~ ne s'e'vanouissent pas toute's pour x o.
Je dirai que la fonction F appartient a' 1'exposant p.
La proprie'te caracte'ristique d'une fonction de m'me nature que F,
appartenant 'a l'exposant p, est quo, multiplie'c par x-9, cite est diff6 -rente de zero pour x o et infinie comme un polynrn etier en
logx, 'a coefficients constants.
15. L'equation diffhrentiellc P -7o peut e'tre telle quc, parmi ses
integaral es, ii s'en trouve oh" les coefficients des produits, Xp(logX)q,